В равновесном состоянии эта энергия должна иметь минимум. . Для решения этой вариационной задачи будем считать Ш(r

) и А(r

) неизменными, а поварьируем функцию Ш*(r

) . Итак, решаем вариационную задачу

Вынести дШ* за квадратные скобки мешает только. Проделаем такие преобразования. Обозначим

Используя тождество

имеем

Последний интеграл в этом равенстве по теореме Гаусса, превращается в поверхностный интеграл:

подставляя полученные соотношения, получим

Это выражение может быть равно нулю при произвольной дШ* только в том случае, если выражения в квадратных скобках равны нулю. Так мы получим первое уравнение теории ГЛ и граничное условие к нему:

Варьирование по Ш(r

) даст комплексно сопряженное выражение. Новый результат можно получить варьированием А(r

).

Т.к. поле на поверхности задано (Н0=const), то rot Н0=0, а также равен нулю поверхностный интеграл.

Из векторного анализа известно, что div[ab

] = b

rota

-

a

rotb

, или применительно к нашему случаю .

С учетом, того что , получим соотношение

Эти уравнения можно записать в более компактной форме, если перейти к безразмерной волной функции

ш(r)= Ш(r

)/ Ш0

где Ш02=ns/2=|б|/в и введем обозначения

Тогда уравнения Гинзбурга – Ландау примут вид

где Ф0=рħс/e — квант потока.